Çevremizdeki uzayı ve bu uzayda oluşturulabilecek biçimleri inceleyen geometri, matematiğin Eskiçağ’a kadar uzanan en eski dallarından biridir ve alanları, hacimleri, ölçüleri hesaplama, plan çizme, vb. gereksiniminden doğmuştur. Mısırlıların, Babillilerin ve Mezopotamyalılarm bu alandaki bilgileri üstüne elimizde çok az belge vardır. Kendilerinden önce yapılmış çalışmalardan yararlanan eski Yunanlılar, Thaies, Pythagoras, Arkhimedes, Apollonios gibi bilginleriyle, geometriyi büyük ölçüde geliştirmişlerdir. Eukleides’in Stoikheia (Elemanlar) adlı yapıtında, matematikte, özellikle de geometride ilk çizim taslağına yer verilmiştir.
Geometri, XVI. yy’dan XIX. yy’a kadar gelişerek çeşitli dallara ayrıldı: Analitik geometri, Tasarı geometri gibi yeni bölümlerin doğduğu görüldü; öte yandan, temel ilkeler üstünde yapılan çalışmalar, eukleidesçi olmayan geometrilerin doğmasına yolaçtı. XIX. yy’a kadar geometri, matematik içinde çok önemli bir yer tutuyordu; hattâ bu nedenle, matematikçiler “geometrici” adıyla anılıyordu. Günümüzde artık, geometri bağımsız bir dal olma niteliğini yitirmiş, genel ve soyut yapıların çizimini konu edinmektedir.
En eski geometri yapıtı, Eukleides’in (Öklid) yazdığı Elemanlar’dır. Çizimler bu yapıtta, tanımlar, ortak kavramlar ve postulatlar gibi üç temel ilkeye dayanır. Tanımlar, nokta, doğru, düzlem, çizgi, vb. sözcüklerle ilgilidir. Sözgelimi, Eukleides’e göre “doğru, her noktasında kendisine benzeyen çizgidir”
Ortak kavramlar, büyüklükleri inceleyen her bilim dalında geçerli ve doğru olduğu düşünülmüş gerçeklerdir; sözgelimi, «bütün, parçalardan daha büyüktür. Postulatlar, bütünüyle açık seçik olmayan ve kanıtlanamayan özellikleri belirtir. Bunlardan en ünlüsü, Eukleides postulatıdır: “Bir doğruya, dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel çizilebilir”.
Geometri uzun süre, bir bilimin kesin biçimde açıklanmış bir modeli olarak görüldü. Karanlıkta kalmış tek nokta, Eukleides postulatıydı, ama, bu postulatı kanıtlama umudu da henüz yitirilmemişti. Bununla birlikte XIX. yy’ da matematikçiler, Eukleides postulatının eksik yanları olduğunu ortaya koydular. Öncelikle tanımlar, gerçek tanımlar değildir; çünkü, daha önce tanımlanmamış sözcüklerden yararlanılmaktadır. Bu sakınca önlenmek isteniyorsa, tanımlanmamış sözcüklerin sunacağı birincil kavramlar bulunacağını da kabul etmek gerekir. Kaldı ki, Eukleides’in yapıtında bütün postulat ve aksiyomlar açıkça belirtilmemiştir.
Eukleides geometrisindeki varsayımların eksiksiz açıklamalarını, matematikçi Hilbert (1862-1943) Grundlagen der Geometrie (Geometrinin Temelleri) (1899) adlı yapıtında sunmuştur.
Geometrinin Dalları
Geometri, temelleri ve yapısı üstündeki açıklamalar belli bir kesinliğe henüz ulaşmadan, yeni dallara ayrıldı. XVII. yy’da Descartes (1596- 1650) ve çağdaşı Fermat’nın (1601-1665) çalışmaları sonucunda, analitik geometri doğdu. Analitik geometrinin temel ilkesi, belli bir geometrik gerçekliği, değişken nicelikler arasındaki bir bağıntıyla yorumlamaktır. Bu amaçla, koordinat eksenlerine başvurulur. Yöntemi illi kez kullanan, yukarıda adı geçen matematikçiler değildir ama, geometrinin tümüne uygulanabilecek genel bir yöntem niteliği kazandıran onlardır. Bu bilim adamları, özellikle bazı düzlem geometri eğrilerinin incelenmesi ve bunlara teğet doğruların belirlenmesinde, söz konusu yöntemi kullandılar. Ayrıca yöntemin üç boyutlu uzaya uygulanması, yüzeyleri düz olmayan uzay eğrilerini inceleme olanağı verdi. Bu incelemeler, geometrinin ilk konusu aşılarak, üçten çok boyutlu uzayların ele alınmasına yolaçtı.
Gene XVII. yy’da matematikçi Desargues (1593-1662), tasarı geometriyi yaratarak, salt geometrinin gelişimini hızlandırdı. Eukleides’ten sonra, XVIII. yy’a kadar, Eukleides postulatını kanıtlamak için sayısız girişim yapıldı. Ne var ki, XIX. yy’da bu postulatı kabul etmeyen geometrilerin kurulmasıyla, söz konusu postulatın ötekilerinin sonucu olmayacağı anlaşıldı. Lobaçevski geometrisinde, Eukleides geometrisinin tersine bir postulat önerildi: “Bir d doğrusuna, dışındaki bir A noktasından sonsuz paralel çizilebilir”. Bu geometride, bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür; Eukleides geometrisinde ise, bilindiği gibi 180 derecedir.
Riemann (1826-1866) geometrisinde ise, daha değişik bir postulat önerilir: «Bir d doğrusuna, dışındaki bir A noktasından hiç bir paralel çizilemez». Bu geometriye göre, paralellik kavramı yoktur; doğru, sonlu bir çizgidir ve bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.
Eukleidesçi olmayan geometrilerin her birinde kuramlar, koşullar uyarınca örnekler seçilebildiği ölçüde gelişmiştir. Bu nedenle, söz konusu kuramlar arasında çelişki görülmez; dolayısıyle, Eukleides postulatı, geometrinin öteki postulatlarının bir sonucu olamaz.
Modern Geometri
Günümüzde geometri, altüst olmaktan, XIX. ve XX. yüzyıllarda ortaya konan yapısının tümünü yeniden düzenleme girişimlerinden kurtulamamıştır. Matematik içinde eskiden kazandığı önemli yerini yitirmiş, kuramlar ile daha genel yapıların örnek ve uygulaması durumuna indirgenmiştir. Sözgelimi, gruplar kuramı bazı dönüşüm gruplarının koruduğu özelliklerden yararlanarak, geometrinin çeşitli özelliklerini ortaya koyma olanağı vermiştir.
Bütün farklı geometriler aslında iç içe girer; birinde kanıtlanabilen bütün özellikler, ötekiler için de geçerlidir. Örnek olarak, ‘Thales teoremini, paralelkenarın özelliklerini, vb. sayabiliriz. Şimdi, sonlu geometrilerden birkaç örnek verelim. Düzlem geometrinin aksiyomlarından üç gelme bağıntısını ele alalım. Nokta ve doğru arasında aşağıdaki bağıntılar kurulur:
I: İki ayrı nokta, her zaman bir doğruyu belirler;
II: Bir doğrunun iki ayrı noktası, o doğruyu tanımlar ve her doğru üstünde en az iki nokta bulunur;
III: Bir d doğrusuna, dışındaki bir A noktasından bir tek paralel çizilebilir (Eukleides postulatı).
Bu aksiyomları doğrulayan sonlu sistemler kurulabilir. Sözgelimi dört a, b, c, d noktasından (dört elemandan) oluşan bir kümeyi ele alalım. Bu kümenin iki elemanlı (a, bJ, (a, c), (a, d), (b, c ), (b, d), (c, d) alt kümelerinden her birine doğru adını verelim. (a, b) ve (c, d; doğrularının kesişmediğini görürüz; aynı biçimde (a, c) ile (b, d) ve (a, d) ile (b, c) doğruları da kesişmez. Dolayısıyle, üç doğru yönü vardır.
Ayrıca. I. ve II. aksiyomları doğrulayıp III. aksiyomu doğrulamayan bir sistem kurma olanağı vardır. Bu durum, III. aksiyomun öteki iki aksiyomun sonucu olmadığını gösterir. Yedi noktalı (elemanlı) a, b, c, d, e, f, g kümesini ve bu kümenin, (a, b, c), (a, g, dJ, (a, f, e), (c, f, g). (c, e, d), (e, b, g), (b, d, f) altkümelerinin gösterdiği yedi doğruyu . ele alalım. “Böyle bir koşulda, iki ayrı doğrunun her zaman bir ortak noktası bulunur; dolayısıyle, paralel doğrular söz konusu olamaz; yani, bu örnek, III. aksiyomu doğrulamaz, ama öteki iki aksiyomu doğrular.
Yukardaki irdeleme, I., II. ve III, aksiyomların, Eukleides’in anladığı biçimde bir geometri kurmak için yeterli olmadığını göstermektedir,- çünkü bu aksiyomları doğrulayan ve sonlu sayıda elemanı bulunan sistemler vardır. Bu aksiyomlara başkalarını da eklemek gerekir; geometrinin kurulması için gerekli bütün aksiyomları Hilbert önermiştir.